Dans cette vidéo, le professeur explique l'importance de la rédaction, de l'initialisation et des erreurs à ne pas faire lorsqu'on démontre une propriété par récurrence. Le principe général consiste à montrer que si une propriété est vraie pour un entier, elle est vraie pour l'entier suivant. Pour cela, on utilise une initialisation et une transmission de la propriété. Il est crucial de conclure la démonstration. Dans 90% des exercices, la propriété sera vraie pour n=0, mais dans 10% des cas, elle sera vraie pour un autre entier. Le professeur donne l'exemple d'une suite définie de manière récurrente. Enfin, il montre un exemple de démonstration de propriété pour illustrer la rédaction attendue.

Pour cette première vidéo de cours sur la récurrence, j'ai envie d'insister un petit peu sur la rédaction, l'importance de l'initialisation et les erreurs à ne pas faire. Donc on va commencer le rappel de concept. On démontre une propriété par récurrence en montrant d'abord qu'elle est vraie pour un entier et deuxième propriété que si elle est vraie quelque part, alors elle est vraie juste après. Si elle est vraie pour 7, elle est vraie pour 8. Si elle est vraie pour n, elle est vraie pour n plus 1. La combinaison de cette pichenette initiale et de cette transmission nous donne une vérité de la propriété pour tous les entiers. C'est un peu ce que j'ai mis ici avec cet exemple de domino encore. Le principe général, donc traduit en mathématiques, c'est quand on a une propriété qu'on appelle P comme propriété de n, si on sait qu'elle est vraie quelque part, donc dans 90% des exos, c'est ça que je dis ici, dans 90% des exos, ce sera le cas, si elle est vraie pour n égale 0 et qu'ensuite on a la propriété de transmission qui est la propriété numéro 2 ici, propriété numéro 2, c'est-à-dire si c'est vrai en n, c'est vrai en n plus 1, alors pour tout entier, P de n sera vraie. Alors ça, c'est incroyable. C'est une des sources de perte de points les plus absolues que je vois tout le temps avec mes élèves. Il faut conclure. Il faut cette phrase, alors je l'ai mis en rose là, il faut absolument que vous le mettiez. Si vous ne mettez pas cette phrase de conclusion, le prof, alors selon son degré de sévérité, soit il vous mettra des points de pitié parce que vous avez bien fait le tout, il se dit quand même, ils ont tout fait, l'effort, je n'ai pas tout enlevé, soit il est juste très très strict, il dit, il n'y a pas de conclusion, ça ne vaut rien, il vous met 0 à l'exo. Ça fout les glandes, honnêtement. Donc essayez de faire gaffe. Le principe c'est, une fois que vous avez démontré l'hérédité, le fait que si on a P2N, ça implique P2N plus 1, il faut donner un peu une vision d'ensemble. Dire ok, j'ai montré la petite flamèche, la petite pigeonnette initiale, j'ai montré la transmission, concluons. Donc c'est vrai pour tout entier. On l'attend, c'est important, si vous ne le mettez pas, vous perdez les points, donc c'est comme ça. Dans cette vidéo, je voulais vous montrer surtout le fait que dans 10% des exos, donc attendez, on ne voit pas mon petit 10% là, dans 10% des exos, à peu près, mais après c'est des chiffres que je fais comme ça, c'est dans mon expérience, peut-être que c'est 12% des exercices. Dans 10% des exos, vous aurez exactement le même process, sauf que ça commence par N0. C'est-à-dire que vous aurez la propriété qui sera vraie, par exemple, pour 3 ou 4 ou 5, et non pas en 0. Et ça, il ne faut pas que ça vous fasse déjanter, genre je ne sais plus quoi faire. C'est en fait le même principe. Je vous fais un exemple, juste pour voir un exemple assez simple. Imaginez, on vous donne une suite UN, donc N plus grand régal à 2. Le premier truc qu'il faut remarquer, c'est ça. La définition même de la suite ne commence pas à 0. Ça a l'air louche, mais pourquoi pas. La définition de UN n'est pas explicite. On me donne un premier terme, puis une relation entre UN plus 1 et UN. On appelle ça une définition récurrente. Donc vous voyez pourquoi ce mot, tant à démonstration par récurrence, définition d'une suite de manière récurrente, ce mot est le même, parce qu'en fait, il y a l'idée de transmission d'un rang à l'autre. C'est pour ça qu'on retrouve un peu le même champ lexical. Donc ça, c'est un truc qu'on a vu en première. On vous dit, quel que soit N plus grand égal à 3, donc pour 2, on a ça, et pour 3 et plus, on a ça. UN plus 1 égal le terme d'avant, plus 1 sur N moins 2. Alors ça ressemble vachement à une suite arithmétique. C'est-à-dire le terme d'avant plus quelque chose. Ça serait une suite arithmétique, si on avait quelque chose de constant. Ici, c'est pas constant, ça dépend de N. Donc bon, c'est une suite bizarre, il va falloir qu'on voit ce qu'on peut faire. Je vous ai rajouté la petite erreur type. Donc on nous demande dans l'exo, montrer que, quel que soit N plus grand égal à 2, UN plus grand égal à 1. Alors j'ai pas pris la question du siècle, on va essayer de faire ça vite fait, mais c'est pour vous montrer la rédaction qu'on attend de vous. La magie du montage, je l'ai écrite à l'avance. On va avoir plusieurs étapes. On écrit soit N plus grand égal à 2, on définit la propriété P2N. P2N c'est U2N plus grand égal à 1. Très bien. Première étape, on fait l'initialisation. On écrit pour N égal 2, moi j'ai une définition qui m'a donné U2. U2 égal 1, C plus grand égal à 1. C'est bon, j'ai mon initialisation. Encore une fois, vérifiez bien que la rédaction suit ce que votre prof veut. Moi je vous fais une rédaction rapide qui prend les étapes, une par une. Je mets tout ce qu'il faut de minimal pour que ça soit bien. Mais adaptez-vous. S'il vous dit qu'il faut ce vocabulaire, ce mot-là, sinon c'est zéro, suivez-le, ne rentrez pas dans une révolution, ça ne sert à rien. Vous voulez une bonne note, un bon dossier, encore une fois, ne suivez que ce que dit le prof. Je vous fais juste un exemple rapide. Héréditez ensuite pour N plus grand égal à 3. On a déjà N égal 2 ici. Montrons que si PN est vrai, Oups, j'ai trop zoomé. Si PN est vrai, alors PN plus 1 est vrai. On a par hypothèse de récurrence. HR, encore une fois, c'est moi qui l'utilise comme petit raccourci. Si le prof ne le fait pas, attention. Il faut toujours s'adapter. UN plus grand égal à 1. Par définition, par hypothèse de récurrence, j'ai ça. Par définition, je sais que UN plus 1, c'est UN plus 1 sur N moins 2. Et donc, qu'est-ce que j'ai? UN plus grand égal à 1, je remplace ici. Le tout est plus grand que 1 plus 1 sur N moins 2. Le tout est donc plus grand que 1. Parce que 1 sur N moins 2, ça, c'est plus grand que zéro. Donc, PN plus 1 est vrai. Et là, on pourrait s'arrêter là et dire, c'est bon, c'est fini. Mais non. Petite étape numéro 3, la conclusion en rose. C'est moi qui ai mis du rose dans cette vidéo. On a donc démontré que pour N plus grand égal à 2, P de N est vrai. C'est tout. Si vous n'êtes pas sûr de quelque chose que j'ai fait, un exemple qui n'était pas très clair, ou que vous voulez une clarté supplémentaire sur un élément, n'hésitez pas à aller dans la FAQ, taper votre petit message, voir déjà s'il n'y a pas quelqu'un qui a posé la question, si quelqu'un n'y a pas déjà répondu. Et oui, on reviendra vers vous, comme d'hab. S'il y a une question qui est vachement vachement demandée, je ferai même une petite vidéo pour vous répondre. À la prochaine!

L'intégrale d'une fonction continue et positive sur un intervalle a, b représente l'aire de la surface entre la courbe de la fonction, les axes verticaux x égal à a et x égal à b, et l'axe horizontal. Cette aire est mesurée en unité d'aire, qui est un petit carré de taille 1 sur 1 dans un repère orthonormé. L'intégrale est notée par un signe mystérieux, "intégrale entre a et b de f de x dx". Si la fonction est négative, on mesure tout simplement la surface correspondante et on y met un signe moins. Si la fonction a des valeurs mixtes, on différencie les parties positives et négatives en calculant leur aire respective. Il faut toujours garder en tête que l'intégrale est positive au-dessus de l'axe des X et négative en dessous de cet axe.

Définition d'une intégrale. Pour f, une fonction continue et positive sur un intervalle a, b permet. On appelle intégrale de a à b de la fonction f, l'aire de la surface qui est délimitée par la fonction f elle-même et par les axes verticaux x égale a, x égale b, ainsi que l'axe horizontal o, x. En gros c'est l'aire sous la courbe. Si on le dit en mots tranquilles, on appelle ça domaine sous la courbe de f sur l'intervalle a, b mais on peut appeler ça air sous la courbe. On l'exprime en unité d'air, donc l'unité d'air c'est si vous voulez quand vous avez un repère orthonormé, vous pouvez dire que le petit carré de taille 1 entre 0i et 0j est une unité d'air. Parce que c'est pas toujours des centimètres carrés donc on appelle ça génériquement en maths, unité d'air pour pas vous mettre de centimètres ou de millimètres, c'est juste un petit carré de taille 1 sur 1, c'est une unité d'air. On la note intégrale, donc c'est une espèce de signe mystérieux qu'on découvre en fin en maths, intégrale entre a et b de f de x dx. On va voir un peu dans plusieurs vidéos pourquoi cette écriture, mais ça c'est vraiment la définition fondamentale, c'est l'aire sous la courbe. Alors vous allez me dire, oui c'est bien mais les fonctions continue positives c'est pas toutes les fonctions, donc on va un peu élargir cette définition, vous aurez bien raison de dire ça. On va regarder ce qu'il se passe pour les valeurs négatives, donc pour les valeurs négatives, pourquoi c'est pas très bien cadré ça? Je remets ça un petit peu plus droit. Voilà, pour les valeurs négatives, soit f une fonction continue sur l'intervalle a, b, on appelle intégrale de f sur a, b le nombre écrit de la même manière que tout à l'heure, défini par si f est positive, i égale l'air de la surface S, et si f est négative, moins r de la surface S. C'est à dire qu'on va mesurer dans ce cas là par exemple tout rouge, on va mesurer toute cette surface là, on va la calculer, on va compter combien elle vaut, on va dire que l'intégrale, si ça c'est genre 12 unités d'air, ou 12 cm² mais disons 12 unités d'air, on va dire que l'intégrale c'est moins 12. En fait on va prendre comme norme qu'on a une définition pour les fonctions positives, il n'y a pas de raison de ne pas en avoir pour les fonctions négatives, on va juste calculer la surface et mettre un signe moins. On va considérer que ce sont des surfaces négatives, c'est comme si on pouvait mettre un signe surface, c'est ce qu'on décide de faire pour cette notion d'intégrale. Après il y aura des cas un peu plus mixtes, comme le cas que j'ai mis là-bas, où ce sera quelques bouts qui seront positifs, quelques bouts négatifs. Quand on regarde ça un peu plus près, ce qu'on voit, j'ai le micro donc chiant, on voit cette fonction, j'ai donc une intégrale positive ici, mais je peux essayer de descendre un petit peu le niveau de cette intégrale, de cette fonction, pour avoir une fonction un peu différente, une cousine à ailes un petit peu décalée vers le bas, qui elle a certaines valeurs de son intégrale, donc de son air sous la courbe, qui vont être considérées comme négatives. Si je vais très très bas, on va considérer que cette air là, on va appeler ça une intégrale négative, on va donner à la valeur de cette intégrale qui sera moins la valeur de l'air que je peux mesurer, qu'elle est toujours positive, donc c'est une air. Et ensuite, si on veut le faire un peu pour ce cas là, donc c'est très simple, j'ai vu, et un mix, on dira juste qu'il y a des parties positives, des parties négatives. Voilà, c'est tout ce que j'ai à dire sur la définition. Je n'ai pas grand chose à ajouter là-dessus, à part sur l'idée que vous avez des graphes en gros qui vont passer au-dessus et en dessous de l'axe aux X, il faudra toujours penser que l'intégrale est positive quand on est au-dessus, négative quand on est en dessous, c'est une norme. Voilà, n'hésitez pas à poser des questions dans la FAQ, et je vous retrouve pour la prochaine vidéo.

Dans cette vidéo, nous analysons les caractéristiques du mouvement circulaire uniforme. Ce mouvement est étudié en classe de terminale et il est important de les connaître parfaitement. Pour mieux comprendre, il est conseillé de faire un schéma représentant un corps en orbite circulaire autour d'un astre dans le repère de Fresnet. De plus, il est recommandé de choisir un système d'axes approprié à l'étude de ce chapitre.

Les caractéristiques du mouvement circulaire uniforme sont les suivantes :

- Le rayon est constant, ce qui signifie que le mouvement est circulaire.
- La norme de la vitesse est constante, même si le vecteur vitesse lui-même bouge car il tourne constamment en raison du mouvement circulaire.
- L'accélération est centripète, c'est-à-dire qu'elle pointe toujours vers le centre du cercle dans lequel le mouvement s'inscrit.

Ensuite, il est demandé d'exprimer la vitesse orbitale d'un satellite en fonction du rayon de son orbite et de sa période de révolution. Pour cela, il est conseillé d'exprimer la vitesse de manière littérale. En utilisant la formule classique de la vitesse (distance divisée par le temps), on peut dire que la distance parcourue par le satellite est le périmètre du cercle (2πR) et le temps mis pour parcourir cette distance est la période de révolution. En combinant ces deux informations, on obtient une expression de la vitesse orbitale en fonction du rayon et de la période.

Enfin, on nous demande de déduire l'évolution de la vitesse si le rayon est divisé par 4. Pour répondre à cette question, il est important de comprendre que la vitesse n'est pas directement proportionnelle au rayon, car la période de révolution dépend également du rayon. On peut utiliser la troisième loi de Kepler, qui relie la période de révolution et le rayon, pour obtenir une expression de la vitesse en fonction du rayon. En remplaçant le rayon divisé par 4 dans cette expression, on constate que la vitesse est multipliée par 2.

En conclusion, il est essentiel de comprendre les caractéristiques du mouvement circulaire uniforme et de savoir exprimer la vitesse en fonction du rayon et de la période de révolution. Il faut également être attentif aux relations entre les différentes variables afin de bien comprendre l'évolution de la vitesse en fonction de la variation du rayon. N'hésitez pas à revoir ces notions fondamentales du mouvement circulaire uniforme. Merci d'avoir suivi cette vidéo et à bientôt !

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio. Dans cette vidéo, on va analyser les caractéristiques du mouvement circulaire uniforme. Lors de l'énoncé commence direct. Rappelez les caractéristiques du mouvement circulaire uniforme. Et ça, c'est le mouvement le plus classique que l'on a étudié en classe de terminale. Il faut absolument connaître sur le bout des doigts ces caractéristiques. Alors, dans ce genre d'exercice, c'est bien de faire un schéma. Voici le schéma d'un corps en orbite circulaire autour d'un astre, dans le repère de Fresnet. C'est aussi bienvenu de prendre l'initiative et de poser un système d'axes propice à l'étude de ce chapitre. Voici un mouvement circulaire et ses caractéristiques. Qu'est-ce qu'on a ? Si on ne se rappelle plus très bien, on peut se pencher sur la sémantique. Circulaire, ça veut dire quoi ? C'est-à-dire que le rayon est constant. On peut définir un rayon. Il est uniforme. La norme de la vitesse est constante. C'est une erreur vraiment très classique. Moi-même, je la faisais. Ce n'est pas le vecteur vitesse qui est constant. Puisque lui, il bouge. Vu que c'est un mouvement circulaire, justement, le vecteur vitesse va tourner sans cesse. Ce n'est pas le vecteur vitesse qui est constant. C'est sa norme. C'est une petite remarque mathématique, mais c'est très important. Il est uniforme parce que la norme de la vitesse est constante. Ensuite, l'accélération est centripète. C'est le terme pour désigner une accélération qui pointe toujours vers le centre du cercle dans lequel on s'inscrit dans le mouvement. Maintenant, exprimer la vitesse orbitale V d'un satellite en fonction du rayon R de son orbite et de sa période de révolution T. Eh bien, il ne faut pas hésiter à exprimer de manière littérale. C'est une astuce, globalement, d'un exercice de physique. Si on est un peu perdu, on essaie de définir clairement ce dont on nous demande. Le satellite parcourt le périmètre de l'orbite en une période de révolution. Or, on sait, la formule est très classique, la vitesse, c'est la distance divisée par le temps. La distance divisée par le temps qu'on met à effectuer cette distance. Alors, ici, la distance qu'on parcourt c'est le périmètre du cercle, donc c'est 2πR. Et le temps qu'on met à effectuer cette distance, c'est la période de révolution. C'est comme ça qu'elle est définie. Maintenant, troisième question, en déduire l'évolution de V si R est divisé par 4. Alors ça, c'est une question très intéressante quand on commence à étudier un chapitre. Lorsque l'on nous donne des relations particulières, des théorèmes, des choses comme ça, c'est bien de mentalement faire soi-même l'effort de faire varier certains paramètres et regarder l'évolution d'autres vis-à-vis de cette évolution. On a une meilleure compréhension des formules lorsqu'on analyse comme ça. C'est tout l'objet de la troisième question. Attention aux pièges, puisqu'ici, on pourrait simplement raisonner, V est directement dépendant de R linéairement, donc si R est divisé par 4, et bien V est divisé par 4. Attention, il y a un piège, puisque T est aussi relié, contient en lui un peu de R. Donc c'est faux de raisonner directement sur cette formule-là. Comment relier T à R avec le reste des constantes ? On fait appel à la troisième loi de Kepler, qui nous dit directement que T2 sur R3 c'est égal à 4pi² sur G fois la masse de l'astre qui attire, donc ici, la masse du soleil. C'est une formule, bien sûr, à connaître par cœur. Donc on exprime T en fonction de R, histoire de le réintégrer dans cette expression. T, c'est égal, si on isole, 2piR fois racine de R divisé par GMS. OK. Donc, si on reprend la formule qu'on a établie avant, V est égal à 2piR divisé par T. À ce moment-là, en remplaçant, V est égal à racine carrée de GMS, le tout divisé par R. Et bien là, ça change totalement la donne. Vu qu'au départ, on aurait pu dire, si R est divisé par 4, V est divisé par 4 aussi. Mais attention, puisque T dépendait de R, alors là, on a bien une relation entre V et R et le reste est déconstante. Donc on peut se pencher sur ce genre d'analyse. Donc si R est divisé par 4, si on introduit un petit divisé par 4 ici, le divisé par 4 va remonter au numérateur en étant 4GMS divisé par R. Et avec la racine carrée, V se retrouve multipliée par 2. Donc voilà, ça change totalement l'analyse. J'espère que vous avez compris la base du raisonnement. Puis n'hésitez pas à revoir les caractéristiques de ce mouvement si important que le mouvement circulaire uniforme. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et puis à bientôt !

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